در كتاب رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه جذر يك عدد ،روشي مطرح شده كه: بر خلاف روش مطرح شده در پايه دوم راهنمايي كه علي رغم تقريبي بودن با دليل و برهان عنوان مي شود ،حتي در راهنماي تدريس پايه سوم هم دليلي براي روش گفته شده بيان نمي شود و اين در حالي است كه در پايه سوم روش دقيقي را براي محاسبه جذر اعداد اعمال مي كنبم.

در اين قسمت سعي مي شود با دقت در روش جذر گرفتن پايه سوم راهنمايي دليل آن را بيابيم و حتي با همان ديدگاه،  نحوه محاسبه ريشه هاي سوم ،چهارم و . . . را نيز بیان کنیم.

چنانچه امکان استفاده از فایل " pdf " را داريد براي مشاهده بهتر و ذخيره مطلب

اینجا

کلیک کنید.

برای آغاز بحث جذر عدد 2231 را با تقريب كم تر از "يك" بدست می آوريم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم.

به اين ترتيب عدد 2231 در دو جزء  ديده مي شود و همين جا مي توانيم تشخيص دهيم كه جواب جذر 2231 دو رقمي است.

بنابراين وقتي جذر تقريبي 22 را  4 در نظر مي گيريم در واقع جذر تقريبي 2200 را  با تقريب كم تر از 10 و به روش قطع كردن 40 حدس زده ايم.

بنابراين :

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب مي كنيم"8" و بزرگترين عددي كه مي توانست در قرار بگيرد تا  حاصل              × 8  بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كرديم.

بنابراين معادل همين كار را در سمت چپ انجام دهيم.

يعني در واقع ما عدد 40 را دو برابر مي كنيم و بزرگترين عددي كه مي تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل              ×( +80 )  بيش تر از 631 نباشد را پيدا مي كنيم

و سرانجام با صرف نظر از رقم يكان عدد 631 و تقسيم آن بر 8 عدد داخل  را حدس مي زديم. لذا: درواقع جزء صحيح تقسيم 631 بر 80 را به عنوان رقم يكان پاسخ جذرمان پيشنهاد مي كنيم.

در نتيجه داريم:

 بنابراين پاسخ جذر  با تقريب كم تر از :يك"   47=7+40 مي باشد.

اما بياييد دقت كنيم با عدد مورد نظرمان "2231" چه كرديم؟

اولا: 1600 يا 40² را از 2231 كم كرديم .

ثانيا: 7×(7+80) يا 7×(7+40×2) را نيز از 2231 كم كرديم

به عبارتي ديگر ما در مجموع  7×(7+40×2)+40²      يا

                                                              7²+(7×40)2+40²         

را از 2231 كم كرده ايم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقي ماند

از طرفي  7²+(7×40)2+40²بسط ²(7+40) مي باشد

به عبارت ديگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ایa+b)²=a²+2ab+b² )   به صورت                                  a²+(2a+b)b مورد استفاده قرار مي گيرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در رياضي سوم راهنمايي براي محاسبه يك جذر جلوه اي خيره كننده از انسجام و اختصار مربع هاي دو جمله اي نهفته است.  

براي مثال وقتي جواب يك جذر 141 مي باشد،در فرايند جذر مربع 141 اينگونه از عددي كه جذز گرفته مي شود كم مي شود:

²[1+(40+100)]=141²

1²+1(140)2+²(40+100)=

1²+1(140)2+40²+40(100)2+100²=

1(1+280)+40(40+200)+100²=

درنتيجه:                1(1+280)+40(40+200)+100²=141²

يعني: در محاسبه  جذر عددي كه پاسخ جذر آن 141 مي باشد ابتدا، حاصل 100² سپش حاصل               40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن كم مي شود و باقيمانده به جا مي ماند

حال مي خواهيم با استفاده از رابطه   a+b)²=a²+(2a+b)b ) ريشه دوم عدد 20000 را با تقريب كم تر از يك بدست آوريم

وقتي از سمت راست دو رقم دو رقم جدا مي كنيم عدد 20000 در سه جزء ديده مي شود پس حاصل جذر سه رقمي است و اولين عدد جواب در ارزش مكاني صدگان مي نشيند.

100 را دو برابر مي كنيم         200=(100)2=2a

و سعي مي كنيم مقدار b را در  2a+b)b)  حدس  بزنيم.

البته: به اين نكته دقت مي كنيم كه عدد درون با ارزش مكاني دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراين: تا اينجا جواب 140 را بدست آورده ايم و باز همين طور ادامه مي دهيم

280=(140)2=2a

و بار ديگر مي خواهيم مقدار b را در  2a+b)b)  پيدا كنيم.

عددي بعدي با ارزش يكان ظاهر خواهد شد پس داريم:

بنابراين جواب جذر 141 و باقيمانده 119 است.

............................تعميم...........................

براي ريشه سوم و ريشه چهارم و . . . نيز مي توان چنين فرايندي را طي كرد

a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³  =  a³+(3a²+3ab+b²)b)

a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+3ab³+b⁴ = a⁴+(4a³+6a²b+3ab²+b³)b)

و . . .

مثال:ريشه سوم عدد 187643 را تا يك رقم اعشار  بدست مي آوريم.

رابطه مد نظر ما:   a³+(3a²+3ab+b²)b

چون مي خواهيم جواب تا يك رقم اعشار بدست آيد بايد (1×3) سه رقم اعشار داشته باشيم و براي رشه سوم سه رقم سه رقم جدا مي كنيم.

پس جواب ما دورقمي و داراي يك رقم اعشار خواهد بود  "دهم/يكان ،  دهگان"

ريشه سوم 187 بيش تر از 5 و كم تر از 6 است. البته 5 در ارزش مكاني دهگان خواهد نشست پس:

حال با توجه به a³+(3a²+3ab+b²)b مقادير 3a²    و    3a را محاسبه مي كنيم .۵۰=a

و سعي داريم: مقدار b را در  3a²+3ab+b²)b)  با ارزش مكاني يكان پيدا كنيم لذا:

در اين مرحله حدس زدن عدد بعدي راحت به نظر نمي رسد و بايد گزينه هايي را امتحان كرد.

ابتدا عدد 5 را قرار مي دهيم داريم:

41375=5(5²+5×150+7500)

كه 41375 از 62643 كم تر است پس با 8 امتحان مي كنيم

70112=8(8²+8×150+7500)

و اين جواب از 62643 بيشتر است در نتيجه 8 مناسب نيست و عدد 7 را قرار مي دهيم.

60193=7(7²+7×150+7500)

و 60193 از 62643 كم تر است لذا 7 عدد صحيح است.

بنابراين:

براي پيشروي در محاسبه بار ديگر مقادير 3a²    و    3a  را محاسبه مي كنيم

البته تا اينجا جواب 57 را بدست آورده ايم پس a را 57 در نظر مي گيريم.

و بايستي عدد جديد را با ارزش مكاني دهم حدس بزنيم

بنابراين ريشه سوم 187643 تا يك روش اعشار 2/57 مي باشد و باقيمانده نيز 752/493 مي باشد.

در ضمن با رسم شكل نيز مي توان براي نحوه محاسبه ريشه دوم و ريشه سوم اعداد به همين روش كه به كمك عبارات جبري بيان شد دست يافت.

 مناسب است به اين نكته نيز اشاره كنم كه:اگر جذر عددي مانند A را a محاسبه كرده باشیم.  " اگر  a  عددی اعشاری باشد از ممیز آن برای این بخش از امتحان جذر صرف نظر می شود" در این صورت باقيمانده اين جذر بايد كم تر از  2a+1   باشد زيرا:  

a+1)²=a²+2a+1 ) بنابراين:

  a+1)²-a²=2a+1)

و يا: در محاسبه ريشه سوم باقيمانده بايد از باقيمانده  a+1)³-a³ )  كم تر باشد

پس در محاسبه ريشه سوم باقيمانده : بايد از مجموع (سه برابر مربع جواب بدست آمده با سه برابر جواب بدست آمده و عدد  يك ) كم تر باشد  

دکتر زتا دانشمندی است از اهالی "هیلکس" کهکشانی در بعد زمان - مکان خارج از کهکشان ما،روزی دکتر زتا به زمین آمد و مدتی را به گردش و جمع آوری اطلاعات درباره انسانها سپری نمود پیش از آنکه دکتر زتا زمین را ترک کند، داستان عجیب و وهم انگیزی گفت:

دکتر زتا: "هتل بی نهایت"هتلی عظیم در مرکز کهکشان ماست. این هتل تعدادی نامتناهی اتاق دارد که از میان سیاهچاله ای امتداد می یابد و به فضای سه بعدی می رسد. شماره اتاقها از ۱ شروع می شود و تا بی نهایت ادامه می یابد.

دکتر زتا: روزی وقتی تمام اتاقها پر بود، خلبان یک شی پرنده در سر راه خود به کهکشانی دیگر، وارد آنجا شد.با اینکه هیچ اتاقی خالی نبود، مدیر هتل اتاقی برای خلبان آماده کرد. او صرفا مسافران هر اتاق را به اتاقی که شماره اش یک واحد بیشتر از شماره اتاق خودشان بود، منتقل کرد. با این کار، اتاق شماره ۱ برای خلبان خالی شد.

دکتر زتا:روز بعد سرو کله ۵ زوج جوان که سرگرم گذراندن ماه عسل بودند پیدا شد. آیا هتل بی نهایتمی توانست به آنها جا دهد؟ بلی. تنها کاری که مدیر کرد این بود که مسافران هر اتاق را به اتاقی که شماره اش ۵ واحد بیشترازشماره اتاق خودشان بود ، منتقل کرد. به این ترتیب اتاقهای ۱ تا ۵ برای این ۵ زوج خالی شد.

دکتر زتا: در تعطیلات پایان هفته عده ای نا متناهی از فروشندگان آدامس بادکنکی برای تشکیل مجمع عمومی به هتل آمدند.

به نظر شما این هتل چگونه می تواند به عده ای نا متناهی از افراد جا بدهد؟؟؟                                                                      

خوشبختانه از پیشنهاد زیر استقبال خوبی شد و گویا بحث «ارزشیابی» بیشتر مورد نظر دوستان است. برای دوستانی که رو این موضوع متمرکز می شوند کتاب زیر بسیار مفید و راهگشا است:

ارزشیابی در خدمت آموزش
نوشته: خانم طاهره رستگار
انتشارات: منادی تربیت

----------------------------------------------------------------------------------------

با سلام و تبریک سال نو و نوروز ۱۳۸۶ خدمت تمامی دوستان عزیز و همکاران گرامی.

امیدوارم که همه ما در این وبلاگ گروهی با فراز و فرودهایی که در سال ۸۵ پشت سر گذاشتیم به سطح لازم از تجربیات کار گروهی رسیده باشیم و سال ۸۶ را با انگیزه مندی های جدید آغاز کنیم و رونق وبلاگ گروهی بیش از پیش شود. انشالله...

و اما ...

لحظه تحویل سال نو پای تلویزیون نشسته بودم و بعد از اعلام تحویل سال سخنرانی آقای خامنه ای پخش شد و همانطور که می دانید یه چند سالی است که ایشان سال ها را به مناسبت های مختلف نامگذاری می کنند تا در آن سال به آن مطلب بیشتر پرداخته شود و ... که خودتان واقفید.

یک لحظه به ذهنم رسید که ما هم می توانیم برای خودمان همین کار را انجام دهیم. بخصوص الان که تعداد نسبتا زیادی از همکاران وبلاگ، در ابتدای مسیر معلمی هستند و احتیاج فراوان به تجربه و مطالعه دارند.

یعنی ما هم بیاییم برای خودمان (هر معلم نزد خودش) از نیمه تابستان تا نیمه تابستان سال بعد را یک سال تحصیلی در نظر گرفته و آن را نامگذاری کند.

مثلاً: سال ارزشیابی / سال برنامه درسی یا طرح درس / سال حل تمرین / سال تکلیف شب / سال تدریس با روش فعال و طرح فعالیت / سال استفاده از ابزارهای آی تی و آی سی تی / و ... و در آن سال به آن مورد بیشتر بپردازد.

مثلا در سال ارزشیابی کتب و مقالات معتبر در آن موضوع را مورد جستجو و مطالعه قرار دهد 
در طی سال ارزشیابی هایش را با دقت و وسواس خاص برگزار کند 
روی تک تک سوالاتش کار کند و آنها را با ملاک های طرح سوال اعم از دشواری، سادگی، جامع بودن و ... بسنجد. (تا در پایان سال آرشیوی از سوالات استاندارد و کارشده بطور تخصصی داشته باشد) 
از هر آزمون بازخوردی به خودش و دانش آموزش بدهد
آزمون ها را بصورت یک زنجیر پیوسته به هم ببیند (نه اینکه هر آزمون را مستقل نگاه کند)
حتی جستجوهایش در اینترنت در طی آن یک سال حول ارزشیابی و موارد مربوطه باشد
و ...

و چه بهتر که در کنفرانس های آموزش ریاضی که قصد ارائه مقاله دارد با تجربه تخصصی یکساله و روند مستمری که پشت سر گذاشته به ارائه مقاله تخصصی بپردازد. (چون لااقل به عنوان یک کارشناس و محققی که یکسال تمام به تجربیات علمی و عملی پرداخته است و روی یک موضوع خاص متمرکز شده است و از پخش کردن انرژی اش روی موضوع های متنوع جلوگیری کرده است می تواند اظهار نظر کند)

از نیمه تابستان شروع کند، زیرا:
تا قبل از آغاز تجربیات عملی و از همان شروع سال و همان اولین آزمون، تئوری های لازم را مطالعه کرده و با اصول کلی و چارچوب های کار آشنا شده باشد و به قول معرف حتی همان آزمون اول را هم از دست ندهد.

تا نیمه تابستان سال بعد ادامه دهد، زیرا:
تمام تجربیات خود را در طی یک ماه و نیمی که فرصت دارد مرتب و کلاسه بندی شده در آرشیو به نحوی قرار دهد که قابل استفاده برای سال های بعدی اش باشد و هرکار بدون جمع بندی دقیق و حساب شده ناقص است و نیز با تمام تجربیاتی که در طی آن سال تحصیلی بدست آورده است بتواند جستجوهای هدف دارتری را در اینترنت روی آن موضوع انجام دهد و روی ضعف هایی که در طی سال با آنها برخورد داشته است مطالعه و چاره اندیشی کند.

اکنون!
فقط یک نکته این وسط باقیست:

موضوعاتی که لازمست روی آنها متمرکز شویم. یعنی چگونه عوامل موثر در یک تدریس موفق را تقسیم بندی کنیم که اولا در حد امکان جامع باشد و تمام موضوعات را شامل شود و ثانیا موضوعات با هم تداخل و همپوشانی نداشته باشند.

در این مرحله از کار نظر همکاران برای تقسیم بندی موضوعات بسیار راهگشا و مفید می تواند باشد.
انشالله بعد از نظر دهی دوستان یک جمع بندی هم از این کار ارائه شود. (توسط خودم یا هر یک از همکاران محترم)

پیشنهادا عرض کنم که اگر توافقی در نامگذاری صورت گیرد و همه ما سال مشخصی را به نام واحدی نامگذاری کنیم در طی آن یکسال وبلاگ گروهی تماما حول آن موضوع خواهد چرخید و آرشیو بسیار مفید و غنی ای از نتایج تحقیقات همکاران حاصل می شود)